Оценки снизу многочленов и линейных форм от значений $F$-рядов

Цель настоящей работы – применить обобщенный метод Зигеля – Шидловского для рассмотрения значения $F$ – рядов в достаточно малых $p$ –адических точках для конкретного значения $p$. Обобщенный метод Зигеля – Шидловского получил значительное развитие в работах Чирского В. Г., Бертрана Д., Йеббоу Й., Матала–Ахо Т., Зудилин В. В, Матвеева В. Ю., Андре И., однако эти работы относились к так называемым глобальным соотношениям и тесно связанными с ними понятиями бесконечной линейной и алгебраической независимости. В этой работе рассматриваются значения этих рядов в конкретном поле $Q_p$. Понятие бесконечной алгебраической независимости относится к прямому произведению бесконечного числа полей $Q_p$, оно означает что если $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ – элементы этого прямого произведения координаты которых в поле $Q_p$ обозначаются $\alpha_1^{(p)}, \ldots, \alpha_n^{(p)}$, то для любого многочлена с целыми коэффициентами, отличными от нуля, существует бесконечное множество простых чисел $p$, таких что в поле $Q_p$ выполнено неравенство $P(\alpha_1^{(p)}, \ldots, \alpha_n^{(p)})\neq 0$. Однако эти результаты не дают соответствующего утверждения для каждого конкретного числа $p$. В этой работе мы доказываем отличие от нуля линейной формы и многочлена от значений этих рядов в достаточно малой $p$ – адической точке, малость которой зависит от высоты $H$ этой формы или многочлена и от степени многочлена. В дальнейшем результаты этой работы будут применены к гипергеометрическим рядам с рациональными параметрами входящими в класс $F$ – рядов.