Об асимптотическом поведении некоторых сумм, содержащих функцию количества простых делителей

В статье рассматриваются суммы значений композиции вещественной периодической арифметической функции и функции количества простых делителей по натуральным числам, не превосходящим заданного. При этом подсчет простых делителей может производиться как с учетом кратности, так и без ее учета, а на сами делители может быть наложено дополнительное требование принадлежности некоторому специальному множеству. Упомянутое специальное множество может быть, например, объединением нескольких арифметических прогрессий с заданной разностью, или же допускать аналог асимптотического закона распределения простых чисел со степенным понижением в остатке. Более того, вместо функции количества простых делителей можно рассмотреть любую вещественную аддитивную функцию, равную единице на простых числах. В качестве примера периодической арифметической функции можно рассмотреть символ Лежандра. Доказаны асимптотические формулы для указанных сумм и изучено их поведение.
Доказательство использует разложение периодической арифметической функции по характерам аддитивной группы вычетов, что сводит задачу к рассмотрению специальной тригонометрической суммы с функцией количества простых делителей в показателе. Для нахождения асимптотик этих сумм мы записываем соответствующий производящий ряд Дирихле, аналитически продолжаем его и применяем формулу Перрона и метод комплексного интегрирования в специально адаптированном варианте.