О среднем значении функций, родственных функции делителей, в кольце многочленов над конечным полем
В. В. Юделевич Московский государственный университет
им. М. В. Ломоносова (г. Москва)
Аннотация:
Пусть
$\mathbb{F}_q[T]$ — кольцо многочленов над конечным полем
$\mathbb{F}_q$. Далее, пусть
$ g :\mathbb{F}_q[T]\rightarrow \mathbb{R}$ — мультипликативная функция, значения которой на степенях неприводимого многочлена зависят лишь от показателя степени, то есть
$g(P^k)=d_k$ для любого неприводимого многочлена
$P$ и некоторой фиксированной последовательности вещественных чисел
$\{d_k\}_{k=1}^{\infty}$. В работе исследуется сумма
$$T(N)=T(N;g)=\sum\limits_{\deg F=N}{g(F)},$$
где
$F$ пробегает многочлены степени
$N$ со старшим коэффициентом, равным
$1$ (унитарные многочлены). Для суммы
$T(N)$ находится точная формула, а также вычисляется асимптотика при
$q\to\infty$ и
$N$ фиксированном; при
$N\to\infty$ и
$ q\to\infty$; при
$\ q^N\to\infty$. В частности, доказаны следующие асимптотические формулы:
$$\sum\limits_{\substack{\deg F=N \\ F \text{ унитарен}}}\tau(F^k)=\binom{k+N}{N}q^N+O_{N,k}\left(q^{N-1}\right),\ \ N\ge 1,\ q\to\infty; $$
$$ \sum\limits_{\substack{\deg F=N \\ F \text{ унитарен}}}\dfrac{1}{\tau(F)}=\dfrac{q^N}{4^N}\left(\binom{2N}{N}-\dfrac{2}{3}\binom{2N-4}{N-2}q^{-1}+O\left(\ \dfrac{4^N}{\sqrt{N}}q^{-2}\right)\right),\ N\to\infty,\ q\to\infty; $$
$$\sum\limits_{\substack{\deg F=N \\ F \text{ унитарен}}}\dfrac{1}{\tau(F)}=C_1\cdot\dfrac{\binom{2N}{N}}{4^N}q^N+O\left(\dfrac{q^{N-0.5}}{N^{1.5}}\right),\ \ C_1=\prod_{l=1}^{+\infty}\left(\sqrt{q^{2l}-q^{l}}\ln\dfrac{q^l}{q^l-1}\right)^{\pi_q(l)},\ q^N\to\infty;$$
где
$\tau(F)$ — число унитарных многочленов, делящих
$F$, и
$\pi_q(l)$ — число неприводимых унитарных многочленов степени
$l$. Последние две формулы представляют собой аналог для многочленов над конечным полем одного результата Рамануджана
$$\sum_{n\leq x}{\dfrac{1}{d(n)}}=\dfrac{x}{\sqrt{\ln x}}\left(a_0+\dfrac{a_1}{\ln{x}}+\ldots+\dfrac{a_N}{(\ln{x})^N}+O_N\left(\dfrac{1}{(\ln{x})^{N+1}}\right)\right),$$
где
$d(n)$ — классическая функция делителей,
$a_i$ — константы, в частности
$$a_0=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\prod\limits_{p}\ln\dfrac{p}{p-1}\sqrt{p(p-1)}.$$
Ключевые слова:
кольцо многочленов над конечным полем, функция делителей.
УДК:
511.321
Поступила в редакцию: 03.02.2020
Принята в печать: 22.10.2020
DOI:
10.22405/2226-8383-2018-21-3-196-214