Наилучшие квадратурные формулы вычисления криволинейных интегралов для некоторых классов функций и кривых

Для приближённого вычисления криволинейного интеграла
$$J(f;\Gamma):=\int\limits_{\Gamma}f(x_1,x_2,\ldots,x_m)dt$$
в случае, когда кривая $\Gamma$ задаётся параметрическими уравнениями
$$x_{1}=\varphi_{1}(t), x_{2}=\varphi_{2}(t),\cdots,x_{m}=\varphi_{m}(t), 0\leq t\leq L,$$
вводится в рассмотрение квадратурная формула
$$J(f;\Gamma)\approx:=\sum_{k=1}^{N}p_{k} f\Bigl(\varphi_{1}(t_k), \varphi_{2}(t_k), \ldots, \varphi_{m}(t_k)\Bigr),$$
где $P=\left\{p_{k}\right\}_{k=1}^{N}$ и $T:=\left\{t_{k}:0\leq t_{1}<t_{2}<\ldots<t_{N}\leq L\right\}$– произвольные векторы коэффициентов и узлов. Пусть $H^{\omega_{1},\ldots,\omega_{m}}[0,L]$ – множество кривых $\Gamma$, у которых координатные функции $\varphi_{i}(t)\in H^{\omega_{i}}[0,L] \ (i=\overline{1,m})$, где $\omega_{i}(t) \ (i=\overline{1,m})$ – заданные модули непрерывности, $\mathfrak{M}_{\rho}^{\omega,p}$ – класс функций $f(M),$ определённых в точках $M\in\Gamma,$ таких, что для любых двух точек $M^{\prime}=M(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{m}^{\prime}),$ $M^{\prime\prime}=M(x_{1}^{\prime\prime},x_{2}^{\prime\prime},\ldots,x_{m}^{\prime\prime}),$ принадлежащих кривой $\Gamma \in H^{\omega_{1},\ldots,\omega_{m}}[0,L],$ они удовлетворяют условию
$$\Bigl|f(M^{\prime})-f(M^{\prime\prime})\Bigr|\le\omega(\rho_{p}(M^{\prime}, M^{\prime\prime})),$$
где
$$\rho_{p}(M^{\prime}, M^{\prime\prime})=\left\{\sum_{i=1}^{m}|x^{\prime}_{i}-x_{i}^{\prime\prime}|^{p}\right\}^{1/p}, \ 1\leq p\leq \infty,$$
$\omega(t)$– заданный модуль непрерывности. Доказано, что среди всех квадратурных формул указанного вида наилучшей для класса функций $\mathfrak{M}_{\rho}^{\omega,p}$ и класса кривых $H^{\omega_{1},\ldots,\omega_{m}}[0,L]$ является формула средних прямоугольников.
Вычислена точная оценка погрешности наилучшей квадратурной формулы для всех рассматриваемых классов функций и кривых и дано обобщение для более общих классов функций.