Константы Маркова–Бернштейна–Никольского для полиномов в пространстве $L^{p}$ с весом Гегенбауэра

Мы изучаем точное неравенство Маркова–Бернштейна–Никольского вида $\|D^{s}u\|_{\infty}\le \\C_{p}(n;s)\|u\|_{p}$ при $p\in [1,\infty]$ для тригонометрических и алгебраических полиномов $u$ степени не выше $n$ в весовом пространстве $L^{p}$ с дифференциальным оператором Гегенбауэра–Данкля $D$. В частных случаях эти неравенства сводятся к классическим неравенствам теории приближений типа Маркова, Бернштейна, Никольского, которым посвящены многочисленные работы. Мы применяем результаты В.А. Иванова (1983, 1992), В.В. Арестова и М.В. Дейкаловой (2013, 2015), F. Dai, D.V. Gorbachev и S.Yu. Tikhonov (2020) для алгебраических констант в $L^{p}$ на компактных римановых многообразий ранга 1 (включая евклидову сферу) и отрезке с весом Гегенбаура, ссылаемся на работы E. Levin и D. Lubinsky (2015), M.I. Ganzburg (2017, 2020), обзор классических результатов G.V. Milovanović, D.S. Mitrinović и Th.M. Rassias (1994).
Ранее мы изучили случай $s=0$. В этой работы мы рассматриваем случай $s\ge 0$. Наш основной результат заключается в доказательстве существования в тригонометрическом случае для чётных $s=2r$ экстремальных полиномов $u_{*}$, которые действительные, четные и $C(n;s)=\frac{|D^{s}u_{*}(0)|}{\|u_{*}\|_{p}}$. С помощью этого факта доказывается взаимосвязь с алгебраической константой для веса Гегенбауэра. С одной стороны, это позволяет автоматически охарактеризовать экстремальные алгебраические полиномы. С другой стороны, известные алгебраические результаты переносятся на более общий тригонометрический вариант. Основным методом доказательства является применение гармонического анализа Гегенбауэра–Данкля, построенного Д.В. Чертовой (2009). Как следствие, мы приводим точные константы при $p=2, \infty$ (при помощи результатов В.А. Иванова), даем соотношения ортогональности и двойственности (доказываемые методами выпуклого анализа из теории приближений), устанавливаем один асимптотический результат типа Левина–Любинского (благодаря связи с многомерной константой Никольского для сферических полиномов).