Эта публикация цитируется в
3 статьях
Ограниченный оператор сдвига для $(k,1)$-обобщенного преобразования Фурье
В. И. Иванов Институт прикладной математики и компьютерных наук Тульского государственного университета
(г. Тула)
Аннотация:
В пространствах с весом Данкля
$v_k(x)$ степенного типа на
$\mathbb{R}^d$, определяемым системой корней и неотрицательной функцией кратности
$k$, инвариантной относительно конечной группы отражений, построен содержательный гармонический анализ. Классический анализ Фурье на евклидовом пространстве соответствует случаю
$k\equiv 0$. В 2012 году Салем Бен Саид, Кобаяши и Орстед определили двупараметрическое
$(k,a)$-обобщенное преобразование Фурье, действующее в пространствах с весом
$|x|^{a-2}v_k(x)$,
$a>0$. Наиболее интересны случаи
$a=2$ и
$a=1$. При
$a=2$ обобщенное преобразование Фурье совпадает с преобразованием Данкля и оно хорошо изучено. В случае
$a=1$ гармонический анализ, важный, в частности, в задачах квантовой механики, изучен пока еще не достаточно. Одним из существенных элементов гармонического анализа является ограниченный оператор сдвига, позволяющий определить свертку и структурные характеристики функций. При
$a=1$ имеется оператор сдвига
$\tau^yf(x)$. Его
$L^p$-ограниченность недавно установлена Салемом Бен Саидом и Делеавалом, но только на радиальных функциях и при
$1\le p\le 2$. В настоящей работе предложен новый оператор обобщенного сдвига
$T^tf(x)$. Он получается интегрированием оператора
$\tau^yf(x)$ по единичной евклидовой сфере по переменной
$y'$,
$|y'|=1$,
$y=ty'$. Мы доказываем, что он положителен на функциях из пространства Шварца
$\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$, для него
$T^t1=1$ и он допускает представление с вероятностной мерой. Отсюда мы выводим его
$L^p$-ограниченность для всех
$1\le p<\infty$ и ограниченность на пространстве
$C_b(\mathbb{R}^d)$ непрерывных ограниченных функций.
Ключевые слова:
$(k,1)$-обобщенное преобразование Фурье, оператор сдвига.
УДК:
517.5
Поступила в редакцию: 13.02.2020
Принята в печать: 22.10.2020
DOI:
10.22405/2226-8383-2018-21-4-85-96