Арифметические свойства элементов прямых произведений $p$-адических полей

В статье рассматриваются вопросы трансцендентности и алгебраической независимости, формулируются и доказываются теоремы для некоторых элементов прямых произведений $p$-адических полей, а также, теорема об оценке многочлена от таких элементов. Пусть $\mathbb{Q}_p$ — пополнение $\mathbb{Q}$ по $p$-адической норме, поле $\Omega_{p}$ — пополнение алгебраического замыкания $\mathbb{Q}_p$, $g=p_1p_2\ldots p_n$ — произведение различных простых чисел, а пополнение $\mathbb{Q}$ по $g$-адической псевдонорме это кольцо $\mathbb{Q}_g$, иными словами $\mathbb{Q}_{p_1}\oplus\ldots\oplus\mathbb{Q}_{p_n}$. Рассматривается кольцо $\Omega_g\cong\Omega_{p_1}\oplus\ldots\oplus\Omega_{p_n}$, содержащее $\mathbb{Q}_g$ в качестве подкольца. Вопросы о трансцендентности и алгебраической независимости над $\mathbb{Q}_g$ элементов $\Omega_g$ привели к результатам полученным в статье. При соблюдении некоторых условий можно делать соответствующие выводы для чисел вида $\alpha=\sum\limits_{j=0}^{\infty}a_{j}g^{r_{j}}, \text{где} a_{j}\in \mathbb Z_g,$ а неотрицательные рациональные числа $r_{j}$ образуют возрастающую и стремящуюся к $+\infty$ при $j\rightarrow +\infty$ последовательность.