Уточнение теорем типа Макинтайра — Евграфова

Изучение асимптотического поведения целой трансцендентной функции вида $f(z)= \sum_n a_n z^{p_n}$, $p_n \in \mathbb{N}$, на кривых $\gamma$, произвольным образом уходящих в бесконечность, является классической задачей, восходящей к работам Адамара, Литлвуда и Полиа. Так, Полиа была поставлена следующая задача: при каких условиях на $p_n$ существует неограниченная последовательность $\{ \xi_n \} \subset \gamma$, такая, что $\ln M_f (|\xi_n|) \sim \ln |f(\xi_n)|$ при $\xi_n \to \infty$ (проблема Полиа). Здесь $M_f(r)$ — максимум модуля $f$ на окружности радиуса $r$. Он показал, что если последовательность $\{ p_n \}$ имеет нулевую плотность, а $f$ — конечный порядок, то указанное соотношение между $\ln M_f (| \xi_n |)$ и $\ln |f(\xi_n)|$ всегда имеет место. Это утверждение верно и в случае, когда $f$ имеет конечный нижний порядок: окончательные результаты для этого случая были получены А. М. Гайсиным, И. Д. Латыповым и Н. Н. Юсуповой-Аиткужиной. В настоящей статье рассматривается ситуация, когда нижний порядок равен бесконечности. Ответ на проблему Полиа в 2003 г. был получен А. М. Гайсиным, и он носит характер критерия. Оказывается, если условиям этого критерия удовлетворяет не сама последовательность $\{ p_n \}$, а только подпоследовательность — последовательность центральных показателей, то логарифмы максимума модуля и модуля суммы ряда будут также эквивалентны в указанном смысле на любой кривой $\gamma$, уходящей в бесконечность.