О новых структурах в теории полностью нелинейных уравнений

В статье предлагается анализ современной ситуации в теории уравнений с $m$-гессиановскими стационарными и эволюционными операторами. Основная особенность этой теории – появление новых алгебраических и геометрических понятий. В работе приводится их перечень. Одним из основных является алгебраическое понятие $m$-положительности матриц, и мы приводим доказательство аналога классического критерия Сильвестра для них. Простым следствием этого критерия являются найденные нами необходимые и достаточные условия существования классического решения первой начально-краевой задачи для $m$-гессиановского эволюционного уравнения. В работе рассматривается также проблема асимптотического поведения $m$-гессиановских эволюций в полуограниченном цилиндре.