Гладкость полупотоков для дифференциальных уравнений с запаздыванием, зависящим от решения

Дифференциальные уравнения с запаздыванием, зависящим от решения, часто записываются в виде $\dot x(t)=f(x_t), $ где $f$ — непрерывно дифференцируемое отображение, действующее из открытого подмножества пространства $C^1=C^1([-h,0],\mathbb R^n)$, $h>0$, в $\mathbb R^n$. В предыдущей статье было доказано, что при двух слабых дополнительных условиях множество $ X=\{\phi\in U:\dot\phi(0)=f(\phi)\}$ есть непрерывно дифференцируемое подмногообразие в $C^1$ коразмерности $n$, на котором решения задают непрерывный полупоток $F$ с непрерывно дифференцируемыми операторами решения $F_t=F(t,\cdot)$, $t\ge0$. В данной работе будет показано, что при несколько более сильных предположениях полупоток $F$ непрерывно дифференцируем на подмножестве своей области определения, задаваемом неравенством $t>h$. Отсюда среди прочего можно получить обратные отображения Пуанкаре на секущих периодических орбит. Все наши предположения выполняются для примера, основанного на законе Ньютона и моделирующего систему автоматического эхо-позиционирования.