О постановке видоизмененных задач для уравнения Эйлера–Дарбу в случае параметров, равных по модулю $\dfrac{1}{2}$

Рассматривается уравнение Эйлера–Дарбу с параметрами, равными по модулю $\displaystyle\frac{1}{2}.$ В силу того, что задача Коши в классической ее постановке является некорректной для таких значений параметров, авторы предлагают постановки и решения видоизмененных задач типа Коши при значениях параметров: а) $\alpha=\beta=\frac{1}{2},$ б) $\alpha=- \frac{1}{2},$ $\beta=\frac{1}{2},$ в) $\alpha=\beta=- \frac{1}{2}.$ В случае а) видоизмененная задача Коши решается методом Римана. Результат, полученный авторами, используется для постановки аналога задачи $\Delta_1$ в первом квадранте с заданием граничных условий со смещением на координатных осях и нестандартными условиями сопряжения на линии сингулярности коэффициентов уравнения $y=x.$ Первое из этих условий склеивает производные по нормали искомого решения, второе содержит предельные значения комбинации самого решения и его нормальных производных. Поставленная задача свелась к однозначно разрешимой системе интегральных уравнений.