Спектральный анализ одномерной системы Дирака с суммируемым потенциалом и оператора Штурма—Лиувилля с коэффициентами-распределениями

Мы рассматриваем одномерный оператор Дирака $\mathcal{L}_{P,U}.$ Краевые условия предполагаются регулярными по Биркгофу, а потенциал $P(x)$  — суммируемым на $[0,\pi].$ Вводятся понятия сильно и слабо регулярного оператора. В обоих случаях найдены асимптотические формулы для собственных значений. В этих формулах мы выписываем главные асимптотические члены и оцениваем остатки, которые специфицируем в зависимости от функционального класса потенциала: $L_p[0,\pi],$ где $p\in[1,2],$ и пространства Бесова $B_{p,p'}^\theta[0,\pi],$ где $p\in[1,2],$ а $\theta\in(0,1/p).$ Дополнительно мы доказываем равномерность наших оценок по шарам $\|P\|_{p,\theta}\le R.$ Затем мы получаем асимптотические формулы для нормированных собственных функций в сильно регулярном случае с такими же оценками остатков в равномерной на $[0,\pi]$ метрике. В слабо регулярном случае собственные значения асимптотически двукратны, и мы проводим аналогичные оценки для соответствующих двумерных спектральных проекторов. Далее мы доказываем базисность Рисса в пространстве $(L_2[0,\pi])^2$ системы собственных и присоединенных функций произвольного сильно регулярного оператора $\mathcal{L}_{P,U}.$ В слабо регулярном случае доказана базисность Рисса двумерных подпространств.
Параллельно с оператором $\mathcal{L}_{P,U}$ мы рассматриваем оператор Штурма—Лиувилля $\mathcal{L}_{q,U},$ порожденный дифференциальным выражением $-y''+q(x)y$ с потенциалом $q$ первого порядка сингулярности (т. е. предполагаем, что первообразная $u=q^{(-1)}$ лежит в $L_2[0,\pi]$) и регулярными по Биркгофу краевыми условиями. С помощью подобия мы сводим к этому случаю операторы более общего вида $-(\tau_1y')'+i(\sigma y)'+i\sigma y'+\tau_0y,$ где $\tau_1', \sigma, \tau_0^{(-1)}\in L_2$ и $\tau_1>0.$ Для оператора $\mathcal{L}_{q,U}$ мы получаем такие же результаты об асимптотике собственных значений, собственных функций, результаты о базисности, как и для $\mathcal{L}_{P,U}.$
Затем для оператора Дирака $\mathcal{L}_{P,U}$ мы доказываем равномерность базисности Рисса по шарам $\|P\|_{p,\theta}\le R$ при $p>1$ или $\theta>0.$ Задача об условной базисности естественным образом обобщается до задачи о равносходимости спектральных разложений в различных метриках. Мы доказываем результат о равносходимости, варьируя три индекса: $f\in L_\mu[0,\pi]$ (раскладываемая функция), $P\in L_\varkappa[0,\pi]$ (потенциал) и $\|S_m-S_m^0\|\to0,$ $m\to\infty,$ в $L_\nu[0,\pi]$ (равносходимость спектральных разложений по соответствующей норме). В завершение мы доказываем теоремы об условной и безусловной базисности системы собственных и присоединенных функций оператора $\mathcal{L}_{P,U}$ в пространствах $L_\mu[0,\pi],$ $\mu\ne2,$ и в различных пространствах Бесова $B_{p,q}^\theta[0,\pi].$