Сингулярные краевые задачи для квазилинейных уравнений со смешанной реакцией-диффузией

Мы изучаем существование решений задачи
\begin{equation} \begin{array}{rl} -\Delta u+u^p-M|\nabla u|^q=0 & \text{в } \Omega,\\ u=\mu & \text{на } \partial\Omega \end{array} \end{equation}
в ограниченной области $\Omega$, где $p>1$, $1<q<2$, $M>0$, $\mu$  — неотрицательная мера Радона в $\partial\Omega,$ а также связанной с ней задачи с изолированной граничной особенностью в точке $a\in\partial\Omega,$
\begin{equation} \begin{array}{rl} -\Delta u+u^p-M|\nabla u|^q=0 & \text{в } \Omega,\\ u=0 & \text{на } \partial\Omega\setminus\{a\}. \end{array} \end{equation}
Трудность заключается в оппозиции двух нелинейных членов, имеющих разную природу. Существование решений задачи (1) достигается при емкостном условии
$$ \mu(K)\leq c\min\left\{cap^{\partial\Omega}_{\frac{2}{p},p'},cap^{\partial\Omega}_{\frac{2-q}{q},q'}\right\} \text{для всех компактов }K\subset\partial\Omega. $$
Задача (2) зависит от нескольких критических условий на $p$ и $q$, а также от соотношения величин $q$ и $\dfrac{2p}{p+1}$.