Компьютерное исследование полиномиальных решений уравнений динамики гиростата

В работе исследуются полиномиальные решения уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил и уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта – Лондона. В математической постановке каждая из указанных задач описывается системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части которых содержат пятнадцать постоянных параметров, характеризующих распределение масс гиростата, потенциальные и непотенциальные силы, действующие на гиростат. Рассмотрены полиномиальные решения двух классов: Стеклова – Ковалевского – Горячева и Докшевича. Структура инвариантных соотношений для полиномиальных решений показывает, что, как правило, к указанным выше пятнадцати параметрам добавляется еще не менее двадцати пяти параметров задачи. При решении такой многопараметрической задачи в статье наряду с аналитическими методами применяются численные методы, основанные на вычислительных математических пакетах. Исследование условий существования полиномиальных решений проведено в два этапа. На первом этапе выполнена оценка максимальных степеней рассмотренных полиномов и получена нелинейная алгебраическая система на параметры дифференциальных уравнений и полиномиальных решений.На втором этапе с помощью компьютерных вычислений исследованы условия разрешимости полученных систем и изучены условия действительности построенных решений.
Для уравнений Кирхгофа – Пуассона построены два новых полиномиальных решения. Первое решение характеризуется следующим свойством: квадраты проекций угловой скорости на небарецентрические оси являются многочленами пятой степени от компоненты вектора угловой скорости на барецентрическую ось, которая выражается в виде гиперэллиптической функции времени. Второе решение характеризуется тем, что первая компонента угловой скорости является многочленом второго порядка, вторая компонента — многочленом третьего порядка, квадрат третьей компоненты — многочленом шестого порядка по вспомогательной переменной, которая является обращением эллиптического интеграла Лежандра.
Третье решение построено для уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта – Лондона. Для него структура такова: первая и вторая компоненты вектора угловой скорости — многочлены второй степени, квадрат третьей компоненты — многочлен четвертой степени по вспомогательной переменной, которая находится обращением эллиптического интеграла Лежандра.
Все построенные решения не имеют аналогов в динамике твердого тела с неподвижной точкой.