RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Компьютерные исследования и моделирование // Архив

Компьютерные исследования и моделирование, 2021, том 13, выпуск 5, страницы 885–901 (Mi crm924)

Эта публикация цитируется в 1 статье

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Особенности численных решений некоторых задач для кноидальной волны как периодического решения уравнения Кортевега–де Фриза

А. П. Черняевa, С. А. Черняеваb

a Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Россия, 141700, г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9
b Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, Россия, 105082, Москва, Рубцовская набережная, 2/18

Аннотация: В данной статье рассмотрены особенности численных решений некоторых задач для кноидальных волн, которые являются периодическими решениями классического уравнения Кортевега–де Фриза типа бегущей волны. Точные решения, описывающие эти волны, получены путем сведения автоволновым приближением уравнения Кортевега–де Фриза к обыкновенным дифференциальным уравнениям сначала третьего, затем второго и, наконец, первого порядков. Обращение к числовому примеру показывает, что полученные таким образом обыкновенные дифференциальные уравнения не являются равносильными. Сформулированная и доказанная в настоящей статье теорема и замечание к ней показывают, что множество решений уравнения третьего порядка самое широкое и в качестве подмножеств включает в себя множества решений уравнений первого и второго порядков, которые в свою очередь равносильными не являются. Полученное автоволновым приближением обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка является источником для нахождения точных формул для описания кноидальной волны (периодического решения) и солитона (уединенной волны). Несмотря на это, с вычислительной точки зрения это уравнение является самым неудобным. Для этого уравнения не выполняется условие Липшица по искомой функции в окрестности постоянных решений. Отсюда теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка не является справедливой. В частности, в стационарных точках нарушается единственность решения задачи Коши. Поэтому для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, полученного из уравнения Кортевега–де Фриза, и в случае кноидальной волны, и в случае солитона задачу Коши нельзя ставить в точках экстремума. Начальное условие может быть поставлено лишь в точке убывания или роста, а отрезок численного решения необходимо выбрать так, чтобы он лежал между соседними точками экстремума. Но для уравнений второго и третьего порядков начальные условия можно ставить как в точках убывания или роста, так и в точках экстремума. При этом отрезок для численного решения сильно расширяется и наблюдается периодичность. Для решений этих обыкновенных уравнений изучаются постановки задач Коши, проводится сравнение полученных результатов с точными решениями и между собой. Показана численная реализация перерождения кноидальной волны в солитон. Результаты статьи имеют гемодинамическую интерпретацию пульсационного течения кровотока в цилиндрическом кровеносном сосуде, состоящем из упругих колец.

Ключевые слова: уравнение Кортевега–де Фриза, кноидальные волны, солитон, задача Коши, условие Липшица.

УДК: 517.9

Поступила в редакцию: 31.05.2018
Исправленный вариант: 04.09.2021
Принята в печать: 07.09.2021

DOI: 10.20537/2076-7633-2021-13-5-885-901



© МИАН, 2024