О нижней оценке числа бент-функций на минимальном расстоянии от бент-функции из класса Мэйорана–Макфарланда

Рассматриваются бент-функции, находящиеся на минимальном расстоянии $2^n$ от функции из класса Мэйорана  — МакФарланда $\mathcal{M}_{2n},$ содержащего бент-функции от $2n$ переменных. Для функции, полученной из бент-функции класса $\mathcal{M}_{2n}$ прибавлением индикатора аффинного подпространства размерности $n,$ доказан критерий того, что она также является бент-функцией. Другими словами, охарактеризованы все бент-функции на минимальном расстоянии от функции из $\mathcal{M}_{2n}.$ Показано, что не достигается нижняя оценка $2^{2n+1}-2^n$ на число бент-функций на минимальном расстоянии от функции из $\mathcal{M}_{2n},$ если перестановка, по которой построена исходная бент-функция, не является APN-функцией. Доказано, что при простых $n \geq 5$ существуют функции из $\mathcal{M}_{2n},$ для которых данная нижняя оценка точна, приведены примеры таких бент-функций. Также установлено, что перестановки EA-эквивалентных функций из $\mathcal{M}_{2n}$ аффинно эквивалентны, если вторые производные хотя бы одной из перестановок не тождественно нулевые. Библиогр. 31.