Вероятностный подход к игре в угадывание в случайной среде

В статье формализуется и решается следующая игра двух лиц. Некоторый вопрос задан первому игроку. Второй игрок знает правильный ответ. Кроме того, оба игрока знают все возможные варианты ответа и их априорные вероятности. Второй игрок должен выбрать подмножество заданной мощности ответов-обманок. Первый игрок выбирает один из предложенных вариантов ответа. Первый игрок выигрывает у второго игрока единицу, если он угадал правильный ответ, и нуль иначе. Эта игра сводится к матричной игре. Однако матрица игры имеет большую размерность, из-за чего классический метод, основанный на решении пары двойственных задач линейного программирования, не может быть реализован для каждой индивидуальной задачи, поэтому необходимо разработать метод радикального понижения размерности.
Всё множество таких игр разбивается на два класса. Надравномерный класс игр характеризуется тем условием, что наибольшая из априорных вероятностей больше вероятности выбора ответа наудачу, а подравномерный класс соответствует противоположному неравенству: каждая из априорных вероятностей при умножении на общее число предъявляемых первому игроку ответов не превосходит единицы. Для каждого из этих двух классов решение расширенной матричной игры сводится к решению задачи линейного программирования существенно меньшей размерности. Для подравномерного класса игра переформулируется в терминах теории вероятностей. Условие на оптимальность смешанной стратегии формулируется с помощью теоремы Байеса. Для надравномерного класса решение игры использует вспомогательную задачу, относящуюся к подравномерному классу. Для обоих классов доказаны результаты о вероятностях угадывания правильного ответа при использовании оптимальных смешанных стратегий обоими игроками, а также разработаны алгоритмы получения этих стратегий. В подравномерном классе оптимальная смешанная стратегия первого игрока — выбирать ответ наудачу, а в надравномерном — выбирать наиболее вероятный ответ. Оптимальные смешанные стратегии второго игрока имеют значительно более сложную структуру. Библиогр. 7.