Непрерывное периодическое в среднем продолжение функций с отрезка

(i) Пусть $T\in\mathscr{E}'(\mathbb{R}^n)$, $n\ge2$ и $E$ – непустое замкнутое подмножество $\mathbb{R}^n$. При каких условиях для функции $f\in C(E)$ существует функция $F\in C(\mathbb{R}^n)$, совпадающая с $f$ на $E$, такая что $f*T=0$ в $\mathbb{R}^n$?
(ii) Если такое продолжение $F$ существует, то что можно сказать о его росте на бесконечности?
Получено решение этой проблемы для широкого класса распределений $T$ в случае, когда множество $E$ является отрезком в $\mathbb{R}^n$.