МАТЕМАТИКА
Нелинейные вариационные неравенства с двусторонними ограничениями, совпадающими на множестве положительной меры
А. А. Ковалевскийab a Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург
b Уральский федеральный университет, Екатеринбург, Россия
Аннотация:
Рассмотрены вариационные неравенства с обратимыми операторами $\mathcal A_s\colon W^{1,p}_0(\Omega)\to W^{-1,p'}(\Omega)$,
$s\in\mathbb N$, дивергентного вида и множеством ограничений $V=\{v\in W^{1,p}_0(\Omega):\varphi\leq v\leq \psi\}$
п.в.в $\Omega\}$, где
$\Omega$ – непустое ограниченное открытое множество в
$\mathbb R^n$ (
$n\geq2$),
$p>1$ и
$\varphi,\psi\colon\Omega\to\bar{\mathbb R}$ – измеримые функции. В предположении, что операторы
$\mathcal A_s$ $G$-сходятся к обратимому оператору $\mathcal A\colon W^{1,p}_0(\Omega)\to W^{-1,p'}(\Omega)$, $\operatorname{int}\{\varphi=\psi\}\neq\varnothing$, $\operatorname{meas}(\partial\{\varphi=\psi\}\cap\Omega)=0$ и существуют функции
$\varphi,\overline{\psi}\in W^{1,p}_0(\Omega)$, такие, что
$\varphi\leq\overline{\psi}\leq\psi$ п.в. в
$Q$ и $\operatorname{meas}(\{\varphi\neq\psi\}\setminus\{\overline{\varphi}\neq\overline{\psi}\})=0$, установлена слабая сходимость в
$W^{1,p}_0(\Omega)$ решений
$u_s$ указанных вариационных неравенств к решению
$u$ аналогичного вариационного неравенства с оператором
$\mathcal A$ и множеством ограничений
$V$. Принципиальное отличие рассмотренного случая от ранее исследованного случая, в котором
$\operatorname{meas}\{\varphi=\psi\}=0$, состоит в том, что, вообще говоря, функционалы
$\mathcal A_su_s$ не сходятся к
$\mathcal Au$ даже слабо в
$W^{-1,p'}(\Omega)$ и интегралы энергии
$\langle\mathcal A_su_s,u_s\rangle$ не сходятся к
$\langle\mathcal Au,u\rangle$.
Ключевые слова:
вариационное неравенство, двусторонние ограничения, $G$-сходимость операторов, сходимость решений.
УДК:
517.9
Статья представлена к публикации: В. И. БердышевПоступило: 22.06.2023
После доработки: 21.01.2024
Принято к публикации: 29.01.2024
DOI:
10.31857/S2686954324010124