О модификациях функции потерь для каузального физически-обусловленного обучения нейронных сетей

Представлен метод, позволяющий свести задачу, описываемую дифференциальными уравнениями с начальными и граничными условиями, к задаче, описываемой только дифференциальными уравнениями, которые инкапсулируют начальные и граничные условия. Благодаря этому становится возможным представить функцию потерь физически-обусловленного обучения нейронных сетей (PINNs) в виде одного члена, связанного с модифицированными дифференциальными уравнениями. Таким образом, устраняется необходимость в подборе масштабных коэффициентов для членов функции потерь, связанных с граничными и начальными условиями. Были изменены взвешенные функции потерь, учитывающие каузальную связь, и получены новые взвешенные функции потерь, основанные на обобщенных функциях. Для ряда задач были проведены численные эксперименты, демонстрирующие точность предложенных подходов. Представлена архитектура нейронной сети для уравнения Кортевега–де Вриза, которая более подходит для рассматриваемой задачи, чем полносвязная нейронная сеть, и демонстрирует превосходную экстраполяцию решения в пространственно-временной области, выходящей за рамки области обучения нейронной сети.