О размерности конгруэнтного централизатора

Пусть $A$ – невырожденная комплексная $(n\times n)$-матрица. Множество $\mathscr{L}$ матриц $X$, удовлетворяющих соотношению $X^*AX=A$, называется конгруэнтным централизатором матрицы $A$. Показано, что размерность $\mathscr{L}$ как вещественного многообразия в матричном пространстве $M_n(\mathbf{C})$ равна разности вещественных размерностей двух множеств: обычного централизатора матрицы $A^{-*}A$ (называемой коквадратом матрицы $A$) и множества матриц, описываемых соотношением $X=A^{-1}X^*A$. Эта формула для размерностей есть комплексный аналог классического результата А. Восса, относящегося к другому типу инволюций в пространстве $M_n(\mathbf{C})$.