О свойстве периодичности оптимальных управлений в задаче вычисления пределов максимальных средних

Для ограниченной борелевской функции $f\colon R^m\to R$, периодической по каждой координате, показано, что предел $M_f=\lim_{\Delta\to\infty}\sup_\gamma(1/\Delta)\int_0^{\Delta}f(\gamma(t))\,dt$, где точная верхняя грань вычисляется по всем решениям в смысле Каратеодори дифференциального включения $\dot\gamma\in G$, $\gamma(0)=\gamma_0$, существует равномерно по $\gamma_0\in R^m$, если компакт $G\subset R^m$ является невырожденным.
Установлено, что периодического оптимального управления $\dot\gamma_{\text{op}}(t)$ при $m\ge2$, вообще говоря, не существует. Тем не менее для любого $\varepsilon>0$ всегда найдется $\Delta_0(\varepsilon,\gamma_0)$ – периодическое приближенно оптимальное управление $\dot\gamma_\varepsilon(t)$, для которого $\gamma_\varepsilon(t+\Delta_0)\equiv\gamma_\varepsilon(t)+T_f$ и $M_f-(1/\Delta_0)\int_0^{\Delta_0}f(\gamma_\varepsilon(t))\,dt<\varepsilon$, где $T_j$ – векторный период функции $f$. При этом композиция $f\circ\gamma_\varepsilon$ будет также периодической функцией с периодом $\Delta_0(\varepsilon,\gamma_0)$, который удовлетворяет неравенствам $\beta(\varepsilon)\le\Delta_0(\varepsilon,\gamma_0)\le\beta(\varepsilon)+t_\max$, где постоянная $t_\max$ зависит только от компакта $G$, a $\beta(\varepsilon)=\max\{8f_0t_\max/\varepsilon,t_\max\}$, $f_0=\sup_{\gamma\in R^m}|f(\gamma)|$. При $t>t_\max$ период можно выбрать общим для всех начальных векторов.
Библиогр. 7 назв.