Гильбертовость и бесселевость систем корневых функций операторов порядка $2m$

Устанавливается связь между свойствами гильбертовости и бесселевости в $\mathbf L_2(0,1)$ системы $\{u_n\}_{n=1}^{+\infty}$ корневых функций дифференциального оператора $L_2(u)=u^{(2m)}+p_2(x)u^{(2m-2)}+\cdots+p_{2m-1}(x)u'+p_{2m}(x)u$, где $m\ge2$, $p_k\in W_1^{2m-k}(G)$, и некоторой специальным образом построенной системы $\{\tilde u_n\}_{n=1}^{+\infty}$ корневых функций дифференциального оператора $L_1\tilde u=\tilde u^{(2m)}$, отвечающих комплексным спектральным параметрам $\mu_n$.
Показано, что при достаточно малых коэффициентах оператора $L_2$ (в частности, при достаточно малых $\|p_i(x)\|_{\infty(0,1)}$, $i=\overline{2,2m-1}$, $\|p_{2m}(x)\|_{L_1(0,1)}$) из гильбертовости в $\mathbf L_2(0,1)$ системы $\{u_n/\|u_n\|\}_{n=1}^{+\infty}$ ($\{\tilde u_n/\|\tilde u_n\|\}_{n=1}^{+\infty}$) с константой $\alpha$ ($\tilde\alpha$) следует гильбертовость системы $\{\tilde u_n/\|\tilde u_n\|\}_{n=1}^{+\infty}$ ($\{u_n/\|u_n\|\}_{n=1}^{+\infty}$) с выписанной явно константой. При этом накладываются естественные ограничения на спектр (карлемановское условие и условие “сумма единиц”).
Аналогичная теорема доказана и для свойств бесселевости в $\mathbf L_2(0,1)$ систем $\{u_n/\|u_n\|\}_{n=1}^{+\infty}$ и ($\{\tilde u_n/\|\tilde u_n\|\}_{n=1}^{+\infty}$).
Библиогр. 28 назв.