О неосцилляции обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенств на пространственных сетях

На конечной связной пространственной сети (геометрическом графе) $\Gamma$ вводится формальное дифференциальное выражение $Lu\equiv-(pu')'+qu$, обычным образом понимаемое внутри каждого ребра $\gamma$, а в каждой внутренней для $\Gamma$ вершине $a$ подразумевающее $(Lu)(a)=\sum_\gamma\alpha_\gamma u'_\gamma(a+0)+q(a)u(a)$, где суммирование ведется по примыкающим к $a$ ребрам и $u_\gamma(\cdot)$ обозначает сужение функции $u\colon\Gamma\to R$ на ребро $\gamma$. Уравнение $Lu=0$ не осциллирует на $\Gamma$, если хотя бы одно из нетривиальных решений сохраняет на $\Gamma$ знак, что эквивалентно существованию у неравенства $Lu\ge0$ равномерно положительного на $\Gamma$ решения. Устанавливается цикл знакорегулярных свойств уравнения $Lu=0$ и неравенства $Lu\ge0$, а также краевых неравенств $u|_{\partial\Gamma}\ge0$. Анализ доводится до условий простоты (геометрической и алгебраической) точек вещественного спектра задачи $Lu=\lambda\varrho u$ ($\varrho\ge0$) при $u|_{\partial\Gamma}=0$ и свойств перемежаемости нулей соответствующих собственных функций.
Библиогр. 19 назв.