Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего $\delta$-функции

Рассматривается первая краевая задача для дифференциального оператора Штурма–Лиувилля на отрезке $[0,l]$ с вещественным потенциалом $q(x)$. Построены приближенные формулы для собственных значений $\lambda_n$ и нормированных собственных функций $y_n(x)$, $n=1,2,\dots$, с оценкой ошибки $O(1/n^2)$, где $n$ – номер собственного значения, а также формула регуляризованного следа для случая, когда функция $q(x)$ может содержать слагаемые в виде $\delta$-функций.
В частном случае, когда $l=\pi$ и $q(x)=c\delta(x-x_0)$, $c\in\mathbf R$, где $\delta(x-x_0)$ есть $\delta$-функция с носителем в точке $x_0\in]0,\pi[$, формула регуляризованного следа имеет вид
$$ \sum_{n=1}^\infty\biggl(\lambda_n-\biggl(n^2-c\frac2\pi\sin^2(nx_0)\biggr)\biggr)=-\frac{c^2}8. $$
Библиогр. 16 назв.