О неправильных особых точках коранга $1$ систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных

Исследуются особые точки систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных: $\mathbf F(t,\mathbf x,\mathbf p)=0$, где $\mathbf p=\mathbf x/dt$, $\mathbf x=(x^1,\dots,x^n)$, $\mathbf p=(p^1,\dots,p^n)$, $\mathbf F=(F^1,\dots,F^n)$ – $n$-мерные векторы, $n>1$. Особыми точками такой системы называются точки пространства $(t,\mathbf x,\mathbf p)$, в которых матрица $\partial\mathbf F/\partial\mathbf p$ вырожденная, т.е. систему нельзя разрешить относительно $\mathbf p$. Под решением понимается $C^1$ – гладкая функция $\mathbf x(t)$, удовлетворяющая данной системе.
Ранее нами рассматривались особые точки определенного типа, называемые правильными, которые для уравнения общего положения составляют множество полной меры среди всех особых точек. Здесь исследуются неправильные особые точки, среди которых наиболее типичными являются точки коранга $1$. Показывается, что при некоторых весьма общих предположениях исследование неправильной особой точки коранга $1$ сводится к исследованию особой точки векторного поля вида $\dot x=v$, $\dot y=w$, $\dot z_i=\alpha_iv+\beta_iw$, $1\le i\le n-1$, где $v,w,\alpha_i,\beta_i$ – гладкие функции, зависящие от переменных $x,y,z_1,\dots,z_{n-1}$. В случае, когда в особой точке спектр линейной части поля имеет два ненулевых собственных значения, которые не связаны между собой определенными резонансными соотношениями, удается применить теорему B. C. Самовола о гладкой эквивалентности систем дифференциальных уравнений в окрестности частично гиперболической особой точки. Это позволяет получить конечно-гладкие нормальные формы такого векторного поля, а также сделать выводы относительно числа решений исходной системы уравнений $\mathbf F(t,\mathbf x,\mathbf p)=0$, проходящих через неправильную особую точку коранга $1$.
Библиогр. 15 назв.