RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Дифференциальные уравнения // Архив

Дифференц. уравнения, 2004, том 40, номер 2, страницы 147–153 (Mi de11014)

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Об эффективных условиях разрешимости вариационных задач

Н. В. Азбелев, Е. И. Бравый, С. А. Гусаренко

Пермский политехнический институт

Аннотация: Рассматривается задача минимизации функционалов вида $J(x)=\int_a^bf(t,(T_1x)(t),\dots,(T_mx)(t))\,dt$ с ограничением $rx=\alpha$, где $r=(r^1,\dots,r^n)$ – линейный вектор-функционал, $T_i$ – линейные операторы. Метод исследования основан на редукции этой задачи к задаче минимизации вспомогательного функционала в пространстве функций с суммируемым квадратом $\mathbf L_2$. Для этой задачи применимы обобщенные теоремы Ферма и Вейерштрасса и в явном виде записывается аналог уравнения Эйлера – функционально-дифференциальное уравнение $N(x)=0$. Основной результат состоит в том, что функция $x_0$ доставляет минимум функционалу $J$ с ограничением $rx=\alpha$, если она удовлетворяет краевой задаче $N(x)=0$, $rx=\alpha$, и сильно положительно определен линейный оператор $H_{x_0}\colon\mathbf L_2\to\mathbf L_2$, который также вычисляется в явном виде. В случае разрешимости краевой задачи $N(x)=0$, $rx=\alpha$ устанавливается факт существования и единственности минимума функционала на некотором выпуклом и замкнутом множестве. Для широкого класса задач сформулированы проверяемые достаточные условия существования минимума. Приводятся примеры.
Библиогр. 8 назв.

УДК: 517.972.4

Поступила в редакцию: 28.10.2002


 Англоязычная версия: Differential Equations, 2004, 40:2, 151–158

Реферативные базы данных:


© МИАН, 2024