Двусторонний функционально-дискретный метод для дифференциальных уравнений второго порядка с общими краевыми условиями

Рассматривается краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, заданного в лиувиллевой форме, с общими краевыми условиями в виде линейных функционалов, в которые, кроме искомой функции, может входить ее производная. Для нахождения ее приближенного решения предложен функционально-дискретный (FD)-метод. Приведено теоретическое обоснование метода, которое включает в себя достаточные условия сходимости; необходимые и достаточные условия двусторонности приближения. На примере краевых условий типа Ионкина–Самарского, Бицадзе–Самарского дана конкретизация и усиление теорем для условий общего вида. Проведен вычислительный эксперимент с использованием систем компьютерной алгебры Maple 8 и Mathematica 4.1. Полученные графические и численные результаты подтверждают теоретические выводы и демонстрируют высокую точность приближений в соответствии с априорными оценками. Предложен алгоритм, предусматривающий построение кусочно-постоянной функции для аппроксимации снизу коэффициента дифференциального оператора, использование точных трехточечных разностных схем для нахождения спектрального радиуса оператора, проверку графическими и процедурными программными средствами неотрицательности функции Грина, а также вычисление по рекуррентным формулам компонент приближенного решения при условии точной реализуемости метода.
Ил. 3. Табл. 4. Библиогр. 14 назв.