Уравнения с частными производными
Относительная стабилизация решений вырождающегося параболического уравнения
с нелинейными младшими членами
О. В. Храмцов Витебский государственный университет им. П. М. Машерова
Аннотация:
Рассмотрен управляемый процесс, описываемый задачей Коши
\begin{equation}
u_t=(u^\alpha)_{xx}+a|u_x|^\lambda+cv,\quad(x,t)\in S=R^1\times(0,\infty),\quad u(x,0)=f(x),\quad x\in R^1,\label{1}
\end{equation}
где неотрицательные
$u,f\in R^1$, параметры уравнения
$a,c,\alpha,\lambda$ – вещественные числа, причем
$\alpha>1$,
$\lambda>0$. Управление
$v(x,t)$,
$(x,t)\in\bar S$, является допустимым, если обладает свойствами: оно непрерывно в
$\bar S$; удовлетворяет условиям
$|v(x,t)|\le u(x,t)$, если
$u(x,t)\ge1$, и
$|v(x,t)|\le1$, если
$u(x,t)\in[0,1]$; обеспечивает только неотрицательные решения задачи \eqref{1}.
В пространстве параметров
$a$,
$\alpha$,
$\lambda$ выделены области, в которых построено по принципу обратной связи нелинейное управление
$v=ru^\beta$,
$|r|\in(0,1]$,
$\beta=\lambda(2-\alpha)/(2-\lambda)$, и построен класс
$G$ начальных условий такой, что для любого начального состояния
$f\in G$ соответствующее решение задачи \eqref{1} стабилизируемо к тривиальному решению
$u(x,t)\equiv0$. Проведена оценка полноты построенного класса
$G$.
Библиогр. 9 назв.
УДК:
517.977+
517.956 Поступила в редакцию: 03.01.2003