Об условиях существования ограниченных решений разностного уравнения в банаховом пространстве

Рассматривается разностное уравнение
\begin{equation} x(m+1)=A(m)x(m)+u(m),\tag{1} \label{1} \end{equation}
где $x(m)$, $u(m)$ – функции аргумента $m$ ($m=0,1,2,\dots$), значения которых принадлежат некоторому банахову пространству $E$; $A(m)$ – линейная оператор-функция, отображающая (при каждом $m$) пространство $E$ в себя.
В статье выводятся условия, при которых для любого решения уравнения $y(m+1)=A(m)y(m)$ справедлива оценка
$$\|y(m)\|_E\le N\operatorname{exp}[-\alpha(m-m_0)]\|y(m_0)\|_E,$$
где $m_0$ – фиксированное натуральное число; $N>0$ и $\alpha>0$ – постоянные, не зависящие от $m_0$.
Доказывается, что это неравенство и некоторое дополнительное условие (для $u(m)$) гарантируют ограниченность любого решения уравнения \eqref{1}. Исследуется также случай, когда $A(m)$ не зависит от $m$.
Библиографий 5.