О гладкости тепловых потенциалов. IV

В работе рассматривается приложение теории специального теплового потенциала простого слоя Паньи к одной краевой задаче для системы параболических уравнений с разрывными коэффициентами, возникающей при исследовании вопроса о распределении концентраций веществ, участвующих в процессах жизнедеятельности живой клетки. В краевые условия и условия сопряжения на поверхностях разрыва этой задачи входят производные от решения по косым направлениям.
Изучение гладкости специального теплового потенциала простого слоя Паньи в зависимости от гладкости его плотности, распределенной на нецилиндрических поверхностях типа $Л^{1,1,(1+\alpha)/2}_{1,\alpha,\alpha/2}$ и $Л_{1,1,(1+\alpha)/2}^{1,\alpha,\alpha/2}$ позволяет доказать существование решения из класса $H_{1,1,(1+\alpha)/2}^{1,\alpha,\alpha/2}$ (в областях непрерывности решения) для задачи при минимально допустимых требованиях гладкости от данных задачи. Доказательство теоремы существования проводится классическим методом продолжения по параметру с помощью $(2+\alpha)$ априорной оценки шаудеровского типа, устанавливаемой для решения рассматриваемой краевой задачи. (Вывод этой оценки проводится методом работ автора и В. Н. Масленниковой, получивших $(2+\alpha)$ априорную оценку для решения II и III краевых задач с косой производной в нецилиндрических областях для параболического уравнения 2-го порядка). Теорема Выборны, о знаке косой производной решения параболического уравнения в граничной точке экстремума, а также исследования автора и В. Н. Масленниковой по приложениям принципа максимума для параболических уравнений с разрывными коэффициентами, позволяют указать условия, при которых решение краевой задачи единственно, а также допускает априорную оценку модуля.
Библиографий 13.