Применение метода Галеркина к решению смешанной задачи для квазилинейного гиперболического уравнения

Методом Галеркина решается смешанная задача
\begin{align}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\frac{\partial}{\partial x}\biggl(p(x)\frac{\partial u}{\partial x}\biggr)+f(t,x,u,u_t,u_x),\notag\\u(0,x)=\varphi_0(x),\quad u_t(0,x)=\varphi_1(x),\notag\\u(t,0)=u(t,\pi)=0,\tag{1}\end{align}
где $p(x)$ – ограниченная, измеримая функция на $[0,\pi]$, причем $p(x)>0$. В качестве базисной системы взяты функции
$$\psi_k(x)=\sqrt{\frac2{\pi}}\sin kx\quad(k=1,2,\dots).$$
Доказаны существование и единственность обобщенного решения задачи (1) и существование почти всюду и классического решения этой задачи.
Библиографий 9.