Приближение кусочно гладких функций тригонометрическими суммами Фурье

Получены точные по порядку оценки скорости приближения кусочно гладких функций тригонометрическими суммами Фурье. Показано, что в точках непрерывности ряд Фурье кусочно липшицевой функции сходится к ней со скоростью $\ln n/n$. Если же функция $f$ имеет кусочно абсолютно непрерывную производную, то доказано, что в точках непрерывности порядок убывания остатка $R_n(f,x)$ ряда Фурье такой функции равен $1/n$. Кроме того, получены точные по порядку оценки для $q$-раз дифференцируемых функций, $q$-я производная которых является кусочно гладкой. В частности, если $f^{(q)}(x)$ является кусочно липшицевой, то $|R_n(f,x)| \le c(x)\frac{\ln n}{n^{q+1}}$ в точках непрерывности функции $f^{(q)}(x)$ и $\sup_{x \in [0,2\pi]}|R_n(f,x)| \le \frac{c}{n^q}$. В случае, когда $f^{(q)}(x)$ имеет кусочно абсолютно непрерывную производную, $|R_n(f,x)| \le \frac{c(x)}{n^{q+1}}$ в точках непрерывности функции $f^{(q)}(x)$. Как следствие последнего результата получена оценка скорости сходимости ряда Фурье к непрерывным кусочно линейным функциям.