Предельные теоремы для совместного распределения объемов компонент в случайном отображении с известным числом компонент

Рассматривается отображение $C_{N,n}$ множества с $n$ занумерованными элементами в себя, имеющее $N\le n$ компонент связности и равномерно распределенное на множестве всех таких отображений, число которых обозначим $a(n, N)$. Приводятся известные и выводятся новые оценки чисел $a(n,N)$, справедливые при $n\to\infty$ и $N=N(n)$.
Пусть $\eta_1,\dots,\eta_N$ – объемы компонент связности случайного отображения $C_{N,n}$, занумерованных одним из $N!$ возможных способов. Получены предельные теоремы, оценивающие распределение случайного вектора $(\eta_1,\dots,\eta_N)$ при $n,N\to\infty$, в том числе и в области больших уклонений. Доказана новая асимптотическая оценка локальных вероятностей для суммы независимых одинаково распределенных случайных величин, определяющих соответствующую обобщенную схему размещения.