О числе $n$-арных квазигрупп конечного порядка

Пусть $Q(n,k)$ – число $n$-арных квазигрупп порядка $k$. Получена рекуррентная формула для чисел $Q(n,4)$. Доказано, что при любых $n\geq2$ и $k\geq5$ справедливы неравенства
$$ (({k-3})/2)^{n/2}(({k-1})/2)^{n/2}<\log_2Q(n,k)\leq c_k(k-2)^n, $$
где $c_k$ не зависит от $n$. Таким образом, верхняя асимптотическая граница для чисел $Q(n,k)$ улучшена при любых $k\geq5$, нижняя – при нечетных $k\geq7$.
Работа выполнена при поддержке ФЦП “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009–2013 гг. (гос. контракт № 02.740.11.0429) и Российского фонда фундаментальных исследований, проекты 08–01–00671, 08–01–00673, 10–01–00616.