Об $1$-устойчивых совершенно уравновешенных булевых функциях

Рассматривается связь между корреляционной иммунностью (устойчивостью) и совершенной уравновешенностью булевых функций. Показано, что для произвольной совершенно уравновешенной булевой функции не выполняется даже некоторое более слабое, чем $1$-устойчивость, свойство, что опровергает некоторые результаты Маркуса Дихтла. С другой стороны, доказываются новые утверждения о барьерах совершенно уравновешенных булевых функций, с помощью которых удается доказать, что все совершенно уравновешенные функции, сумма длин барьеров которых меньше числа переменных, являются $1$-устойчивыми.
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проекты 16-01-00226 А и 16-01-00470 А).