О количестве максимальных независимых множеств в полных $q$-арных деревьях

Исследуется асимптотическое поведение величины $\textrm{mi}(T_{q,n})$ — количества максимальных независимых множеств в полном $q$-арном дереве высоты $n$. Доказано, что для некоторых констант $\alpha_2$ и $\beta_2$ при $n\longrightarrow \infty$ справедливо асимптотическое равенство $\textrm{mi}(T_{2,n})\thicksim \alpha_2\cdot (\beta_2)^{2^n}$. Доказано также, что для любого достаточно большого $q$, некоторых трёх попарно различных констант $\alpha^{(1)}_q,\alpha^{(2)}_q,\alpha^{(3)}_q$ и константы $b_q$ при $k\longrightarrow \infty$ имеют место асимптотические соотношения: $\textrm{mi}(T_{q,3k})\thicksim \alpha^{(1)}_q\cdot(\beta_q)^{q^{3k}},\textrm{mi}(T_{q,3k+1})\thicksim \alpha^{(2)}_q\cdot(\beta_q)^{q^{3k+1}},\textrm{mi}(T_{q,3k+2})\thicksim \alpha^{(3)}_q\cdot(\beta_q)^{q^{3k+2}}$.