Стандартный базис полиномиального идеала над коммутативным артиновым цепным кольцом

Строится стандартный базис идеала кольца полиномов $R[X]=R[x_1,\ldots,x_k]$ над коммутативным артиновым цепным кольцом $R$, обобщающий понятие базиса Гребнера полиномиального идеала над полем. При этом используется предложенное в работах Д. А. Михайлова и А. А. Нечаева понятие старшего члена полинома, учитывающее специфику кольца $R$; в отличие от этих работ, предлагаемые конструкции основываются на понятии схемы симплификации, предложенной В. Н. Латышевым. Доказано, что всякая каноническая система образующих (КСО), построенная в работах Д. А. Михайлова и А. А. Нечаева, является стандартным базисом специального вида. Введено понятие $S$-полинома и на его основе построен алгоритм, находящий стандартный базис идеала и КСО идеала. Определяются минимальный и редуцированный стандартные базисы, приводятся характеризующие их условия. Доказано, что при естественном эпиморфизме $\nu\colon R[X]\to\bar R[X]$, где $\bar R=R/\operatorname{rad}(R)$, базис Гребнера $\chi$ полиномиального идеала над полем вычетов $\bar R$ поднимается до стандартного базиса той же мощности в $R[X]$ тогда и только тогда, когда идеал $(\chi)$ является образом некоторого идеала $I\triangleleft R[X]$, являющегося свободным $R$-модулем.
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, грант 02–01–00218, и грантом НШ-1910.2003.1 Президента РФ для поддержки ведущих научных школ.