Локальные предельные теоремы для одного класса распределений вероятностной комбинаторики

Рассматривается функция $f(z)$, разлагающаяся в степенной ряд с неотрицательными коэффициентами, сходящийся в круге положительного радиуса $R.$ Пусть при $|z|<R$ случайная величина $\xi_n$, $n=1,2,\ldots$, имеет распределение
$$P\{\xi_n=N\}=\frac{\mathrm{coeff}_{z^n}\left(\frac{\left(f(z)\right)^N}{N!}\right)}{\mathrm{coeff}_{z^n}\left(\exp(f(z))\right)},\,N=0,1,\ldots$$
(если знаменатель дроби положителен). Приводятся примеры использования таких распределений в вероятностной комбинаторике. Доказаны локальные нормальные теоремы для распределения $\xi_n$ в двух случаях: когда при $|z|<1$
$$f(z)=(1-z)^{-\lambda},\,\lambda=\mathrm{const}\in(0,1],$$
а также при условии, что множество $A$ номеров положительных коэффициентов разложения $f(z)$ в степенной ряд имеет вид
$$A=\{m^r\,/\,m\in\mathbb N\},\,\,r=\mathrm{const}\in\mathbb N,\,\, r\ge2$$
(сами эти коэффициенты считаются равными 1). В качестве гипотезы сформулирована общая локальная нормальная теорема для случайных величин $\xi_n.$ Указаны случаи, когда утверждение этой теоремы оказывается справедливым.