Эта публикация цитируется в
1 статье
Локальные предельные теоремы для одного класса распределений вероятностной комбинаторики
А. Н. Тимашёв Институт криптографии, связи и информатики
Аннотация:
Рассматривается функция
$f(z)$, разлагающаяся в степенной ряд с неотрицательными коэффициентами, сходящийся в круге положительного радиуса
$R.$ Пусть при
$|z|<R$ случайная величина
$\xi_n$,
$n=1,2,\ldots$, имеет распределение
$$P\{\xi_n=N\}=\frac{\mathrm{coeff}_{z^n}\left(\frac{\left(f(z)\right)^N}{N!}\right)}{\mathrm{coeff}_{z^n}\left(\exp(f(z))\right)},\,N=0,1,\ldots$$
(если знаменатель дроби положителен). Приводятся примеры использования таких распределений в вероятностной комбинаторике. Доказаны локальные нормальные теоремы для распределения
$\xi_n$ в двух случаях: когда при
$|z|<1$ $$f(z)=(1-z)^{-\lambda},\,\lambda=\mathrm{const}\in(0,1],$$
а также при условии, что множество
$A$ номеров положительных коэффициентов разложения
$f(z)$ в степенной ряд имеет вид
$$A=\{m^r\,/\,m\in\mathbb N\},\,\,r=\mathrm{const}\in\mathbb N,\,\, r\ge2$$
(сами эти коэффициенты считаются равными 1). В качестве гипотезы сформулирована общая локальная нормальная теорема для случайных величин
$\xi_n.$ Указаны случаи, когда утверждение этой теоремы оказывается справедливым.
Ключевые слова:
распределения степенного ряда, локальная асимптотическая нормальность.
УДК:
519.214+
519.212.2 Статья поступила: 16.03.2017
DOI:
10.4213/dm1422