Совокупность асимптотически независимых статистик в полиномиальной схеме, содержащая статистику Пирсона

Рассмотрим полиномиальную схему с $N$ исходами. Классической статистикой для проверки гипотезы о том, что вероятности исходов задаются числами $p_1, \ldots, p_N$, является статистика критерия хи-квадрат. Предлагается набор из $N-2$ статистик, которые вместе со статистикой Пирсона образуют $N-1$ случайных величин, асимптотически независимых в совокупности, найдены их предельные распределения. Статистика Пирсона — это квадрат длины некоторого асимптотически нормального случайного вектора. Предложенные статистики являются координатами этого вектора в некоторой вспомогательной сферической системе координат.