О точности аппроксимации в предельной теореме Пуассона

Статья посвящена нахождению неравномерных оценок в теореме Пуассона. Пусть $I_1,\ldots,I_n$ — индикаторы независимых случайных событий. Введем обозначения $p_k=\mathsf P\{I_k=1\}=1-\mathsf P\{I_k=0\}$, $0\leq p_k\leq1$, $k=1,\ldots,n$. Функцию распределения суммы таких индикаторов обозначим
$$ B(x)=\mathsf P\biggl\{\sum_{k=1}^n{I_k}\leq x\biggr\}. $$
Величину скачка функции распределения $B(x)$ в точке $k$ обозначим $b_k$. Мы также используем обозначения
$$ P_1=\frac 1n\sum_{k=1}^np_k,\qquad P_2=\frac 1n\sum_{k=1}^np_k^2. $$
Обозначим
$$ \pi_k=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\qquad k=0,1,2,\ldots, $$
величины скачков пуассоновской функции распределения с параметром $\lambda\geq0$ и через
$$ \Pi_\lambda(x)=\sum_{k\leq x}\pi_k $$
соответствующую функцию распределения. Примером полученных в работе результатов является следующая теорема. При $\lambda=nP_1$ и $k\geq2+\lambda$ выполнено неравенство
$$ |b_k-\pi_k|\leq\frac{nP_2}{2}\left(1+\frac{\lambda^2}{(k-2)^2}\right) e^{-\lambda}\left(\frac{\lambda e}{k-2}\right)^{k-2} $$
и при $k>1+\lambda e$ — неравенство
$$ |B(k)-\Pi_\lambda(k)|\leq\frac{nP_2}2\left(1+\frac{\lambda^2}{(k-1)^2}\right) \frac{k-1}{k-1-\lambda e}e^{-\lambda}\left(\frac{\lambda e}{k-1}\right)^{k-1}. $$