Критические ветвящиеся процессы, эволюционирующие в неблагоприятной случайной среде

Пусть $\{Z_{n},n=0,1,2,\dots\} $ — критический ветвящийся процесс в случайной среде, а $\{ S_{n},n=0,1,2,\dots\} $ — его сопровождающее случайное блуждание. Известно, что если приращения этого случайного блуждания принадлежат (без центрирования) области притяжения устойчивого закона, то существует такая правильно меняющаяся на бесконечности последовательность $a_{1},a_{2},\dots$, что при $n\rightarrow \infty$ условные распределения
\begin{equation*} \mathbf{P}\left(\frac{S_{n}}{a_{n}}\leq x\Big|Z_{n}>0\right),\quad x\in (-\infty,+\infty), \end{equation*}
слабо сходятся к распределению строго положительной и собственной случайной величины. В данной работе мы дополняем этот результат описанием асимптотического поведения вероятности
\begin{equation*} \mathbf{P}(Z_{n}>0, S_{n}\leq \varphi (n)), \end{equation*}
если $\varphi (n)\rightarrow \infty$ при $n\rightarrow \infty$ таким образом, что $\varphi (n)=o(a_{n})$.