О двух статистиках типа хи-квадрат, построенных по частотам цепочек состояний сложной цепи Маркова

Рассматривается последовательность состояний $(s-1)$-сложной цепи Маркова, у которой вероятности переходов зависят только от небольшой части $s-1$ предыдущих состояний. Получены предельные распределения $\chi^2$-статистик $X$ и $Y$, построенных по частотам цепочек состояний цепи Маркова. Для статистики $X$ использовались частоты цепочек только тех состояний, от которых зависят вероятности переходов, а для статистики $Y$ — частоты сплошных $s$-цепочек. Статистический критерий со статистикой $X$, различающий гипотезы $H_1$ (сложная цепь Маркова) и $H_0$ (независимая равновероятная последовательность) оказался более мощным по сравнению с аналогичным критерием со статистикой $Y$. Статистика $Z$ критерия Неймана–Пирсона так же, как и $X$, зависит только от частот несплошных цепочек. Статистики $X$ и $Y$ вычисляются без использования параметров распределения при гипотезе $H_1$, а их вероятности ошибок 1-ого и 2-ого рода зависят только от параметра нецентральности, являющегося функцией от вероятностей переходов. Таким образом, для этих статистик гипотезу $H_1$ можно рассматривать как сложную.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 00–15–96136.