Времена пребывания в конечном множестве состояний марковских ветвящихся процессов и вероятности вырождения одной модификации процесса Гальтона–Ватсона

В многотипном ветвящимся процессе Гальтона–Ватсона $\mathcal B$ выделено конечное множество состояний $S$. Известно, что во всех нетривиальных ветвящихся процессах число частиц $\mu(t)$ в момент $t$ при $t\to\infty$ с вероятностью единица стремится к нулю или бесконечности. Обозначим $\nu_i$ — число моментов дискретного времени $t$, в которых $\mu(t)$ равно $i$-му состоянию из множества $S$. В первом параграфе показано, что производящая функция многомерного распределения $\nu_1,\nu_2,\dots,\nu_r$ рациональна. Во втором параграфе для вырождающегося марковского ветвящегося процесса с одним типом частиц $\mathcal B_c$ найдено преобразование Лапласа времен пребывания $\tau_1,\tau_2,\dots,\tau_r$ в состояниях множества $S=\{1,2,\dots,r\}$. В третьем параграфе дан способ вычисления вероятностей вырождения некоторой модификации $\mathcal B^*$ ветвящегося процесса $\mathcal B$.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты 99–0100012, 00–15–96136, и INTAS–RFBR, проект 99–01317.