О подстановках с длинами циклов из случайного множества

Пусть $\xi_1,\dots,\xi_n,\dots$ — последовательность независимых бернуллиевых случайных величин, принимающих значение 1 с вероятностью $\sigma\in(0,1]$. По этой последовательности построим случайное множество $A\subseteq N=\{1,2,3,\dots\}$ следующим образом: число $n\in N$ включается в $A$ тогда и только тогда, когда $\xi_n=1$. Через $T_n=T_n(A)$ обозначим множество подстановок степени $n$, длины циклов которых принадлежат множеству $A$. В статье находится асимптотика при $n\to\infty$ числа элементов множества $T_n(A)$. Этот результат подтверждает гипотезу, высказанную В. Ф. Колчиным в 1989 году на семинаре в Математическом институте им. В. А. Стеклова. При каждом фиксированном $A$ на $T_n(A)$ задается равномерное распределение. В этом случае получены предельные теоремы для числа циклов, общего и фиксированной длины, в случайной подстановке из $T_n(A)$. Ранее аналогичные задачи решались для различных классов детерминированных множеств $A$.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, гранты 00–15–96136 и 00–01–00090.