Условия однозначности проблемы моментов в классе $q$-распределений

Пусть $K_q$ — класс распределений вероятностей, сосредоточенных на множестве степеней числа $q>1$ с неотрицательными целыми показателями ($q$-распределений), $\mathsf P=\{p_k=P(q^k),\ k=0,1,\ldots\}$ — распределение вероятностей из класса $K_q$, обладающее моментами любого порядка. Показано, что для того, чтобы распределение $\mathsf P$ однозначно определялось в классе $K_q$ последовательностью своих моментов при условии, что $p_k>0$, $k=0,1,\dots$, необходимо, а при условии
$$ \operatornamewithlimits{sup\,lim}_{k\to\infty}(p_kq^{\binom k2})^{1/k}<\infty $$
достаточно, чтобы имели место соотношения
$$ \operatornamewithlimits{inf\,lim}_{k\to\infty} p_{2k}q^{\binom{2k}k} =\operatornamewithlimits{inf\,lim}_{k\to\infty} p_{2k+1}q^{\binom{2k+1}{2}}=0. $$
Полученные результаты применяются при исследовании предельного распределения числа решений системы случайных линейных однородных уравнений с равновероятной матрицей коэффициентов над конечным локальным кольцом главных идеалов.