О больших уклонениях ветвящихся процессов в случайной среде: геометрическое распределение числа потомков

Рассматривается ветвящийся процесс $Z_n$ с геометрическим распределением числа непосредственных потомков в случайной среде, представляющей собой последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин (модель Смита–Вилкинсона). Найдена асимптотика вероятностей больших уклонений $\boldsymbol{\mathsf P}(\ln Z_n>\theta n)$, $\theta>0$, в предположении, что шаг сопровождающего случайного блуждания $S_n$ удовлетворяет условию Крамера. Эта асимптотика следует за асимптотикой вероятностей больших уклонений $\boldsymbol{\mathsf P}(S_n>\theta n)$ в случаях надкритического, критического, умеренно и промежуточно докритического процессов. В строго докритическом случае для $\theta$, больших некоторого $\theta^*$, сохраняется та же асимптотика (при $\theta\le\theta^*$ вероятности больших уклонений имеют другую асимптотику).
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 04–01–00700, и поддержке DFG, проект 436 RUS 113/722.