Вероятности вырождения ограниченных снизу докритических многотипных ветвящихся процессов

Первоначальный многотипный ветвящийся процесс Гальтона–Ватсона
$$ \mu(t)=(\mu_1(t),\dots,\mu_m(t)),\qquad t=0,1,2,\dots, $$
порождает ограниченный снизу ветвящийся процесс, если при попадании $\mu(t)$ в некоторое конечное множество $S$ процесс останавливается. Изучается ограниченный снизу докритический ветвящийся процесс Гальтона–Ватсона $\xi(t)=(\xi_1(t),\dots,\xi_m(t))$ с типами частиц $T_1,\dots,T_m$, поглощающие состояния которого образуют множество $S=\{0,e(j_1),\dots,e(j_{m_1})\}$, где $e(j)=(\delta_{j1},\dots,\delta_{jm})$, $1\le m_1\le m$, и 0 — нулевой вектор. Показано, что вероятность
$$ q_j^n=\lim_{t\to\infty}\mathsf P\{\xi(t)=e(j)\mid\xi(0)=n\}, $$
где $n=(n_1,\dots,n_m)$ при $\bar n=n_1+\dots+n_m\to\infty$, $n_i/\bar n\to a_i$, асимптотически сближается с функцией, периодической с периодом 1 относительно $\log_{1/R}\bar n$, $R<1$ — перронов корень матрицы математических ожиданий первоначального ветвящегося процесса.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 96-01-00338, и INTAS-RFBR 95-0099.