Нижняя оценка мощности одного класса циклических разностных семейств

В группе $Z_v$ классов вычетов по модулю $v$ разбиение $Z_v\setminus\{0\}$ на циклически упорядоченные $k$-подмножества называется $\widetilde{T}(v,k,k-1)$-разностным семейством (р. с.), если эти подмножества задают каждую ненулевую разность $Z_v$ на любом фиксированном расстоянии $\rho=1,2,\ldots$, $k-1$ (по циклу) точно один раз. Дается рекурсивное построение $\widetilde{T}(v,k,k-1)$-р. с. в $Z_v$ для произвольных натуральных чисел $k$ и $v$ таких, что $k\mid (p-1)$ для каждого простого делителя $p$ числа $v$ и $k\ge3$, и доказывается существование по меньшей мере
$$ N_n=\prod_{i=2}^n(q_i^{k-2})^{\left(\prod_{j=1}^{i-1} q_j-1\right)/k} $$
попарно неэквивалентных $\widetilde{T}(v,k,k-1)$-р. с. в $Z_v$. В качестве следствия выводится существование по меньшей мере
$$ N_n=(p^{k-2})^{(p^n-p)/(k(p-1))-(n-1)/k} $$
попарно неэквивалентных $\widetilde{T}(p^n,k,k-1)$-р. с. в $Z_{p^n}$, где $p$ — простое, $n$ — натуральное число, $k\mid (p-1)$ и $k\ge3$.