О высоте ствола случайных корневых деревьев

Пусть $T$ — корневое дерево с $N$ вершинами. Дерево $T$ естественным образом разбивается на слои. Начиная с корня, совершаются переходы из вершины предшествующего слоя в ту вершину следующего слоя, дерево с корнем в которой содержит более половины вершин, лежащих в более высоких слоях дерева. Если такой вершины не существует, то процесс останавливается. Корень дерева и вершины, используемые при таких переходах, образуют ствол дерева. Обозначим $L(T)$ число вершин в стволе дерева $T$. В работе доказаны теоремы о предельном поведении $L(T)$ и некоторых функционалов от ствола дерева при условии, что $N\to\infty$, а дерево $T$ выбирается случайно в соответствии с некоторым законом из множества корневых деревьев с $N$ вершинами. Следствием из полученных результатов является положительный ответ на гипотезу Муна и Мейера о скорости роста высоты ствола $L(T)$ корневого дерева, принадлежащего так называемым просто порождаемым семействам случайных деревьев.
Работа выполнена при частичной поддержке Международного научного фонда, грант № MQP000, и Российского фонда фундаментальных исследований, проект 93–011–1443.